PE Funkcja sin x / x w widmach sygnałów Archiwum

PE Funkcja sin x / x w widmach sygnałów Archiwum

 Prąd pobierany ze sztywnej sieci przez trójfazowy mostek tyrystorowy pracujący jako prostownik lub falownik ma kształt prostokątów o szerokości 2/3 Pi. Ze zmianą kąta wysterowania prostokąt przesuwa się w prawo w stosunku do napięcia sieci. Występują tylko nieparzyste harmoniczne o amplitudach 1/n a dokładniej 6n+-1. Gdy sieć lub transformator czy dławik komutacyjny ma indukcyjność proces przejmowania prądu między fazami przejmującą i oddająca prąd nie jest nieskończenie szybki. Obliczenie wielkości ( dla kąta wyzwolenia tyrystorów różnego od zera ) harmonicznych jest możliwe ale już dość uciążliwe.

Szybkość narastania prądu w procesie komutacji głównie zależy od chwilowej różnicy napięć między fazą przejmującą a oddającą prąd w momencie komutacji.

Na wykresie pokazano funkcje |sin x / x| oraz tak zwaną jej kopertę.

W skali logarytmicznej w jakiej są prezentowane charakterystyki częstotliwościowe i częstotliwościowe spektra sygnałów dla x<1 wzmocnienie koperty funkcji |sin x /x| wynosi 1 a następnie spada z szybkością 20db na dekadę.

Zgodnie z twierdzeniem Shannona sygnał o widmie kończącym się na częstotliwości w bez straty informacji trzeba próbkować z częstotliwością conajmniej 2w=fs, s jak sampling, czyli próbkowanie. Widmo impulsów próbek ( Obrazowo bardzo krótkie i wysokie impulsy. Delta Diraca jest miarą lub dystrybucją. Narzędziem w matematyce, elektrotechnice, elektronice, automatyce, DSP, fizyce kwantowej. Transformata Laplacea F(s)=1. Pochodną jest funkcja Heaviside ) jest do częstotliwości w tożsame z widmem sygnału a następnie wokół fs jako kopie powtarzają się do nieskończoności. Po podaniu próbki w postaci impulsów do idealnego filtru dolnoprzepustowego uzyskujemy pierwotny sygnał. Taki idealny filtr jest nierealizowalny fizycznie !

W systemach sygnał analogowy poddaje się antyaliasingowej filtracji dolnoprzepustowej i dalej do przetwornika A/D. Sygnał cyfrowy może być na przykład zapisany jako plik i dowolnie obrabiany od razu lub poźniej. Cyfrowy sygnał ( o oversamplingu jest dalej ) podaje się z częstotliwością fs do przetwornika D/A, przetwornik ma na wyjściu układ próbkująco - pamiętający S/H ( Sample Hold ) i sygnał na jego wyjściu ma kształt schodkowy wraz ze zmianą kolejnych próbek sygnału. Taki zerowego rzędu układ Sample/Hold ( zero order hold) ma charakterystykę częstotliwościową jak |sin x / x| , z pierwszym zerem przy częstotliwości fs. Układ S/H powoduje przy częstotliwości granicznej spory spadek charakterystyki częstotliwościowej. Aby temu zapobiec można sygnał skorygować filtrem cyfrowym lub analogowym, skrócić czas trwania sygnału na wyjściu układu S/H ( na przykład schodek trwa tylko 1/4fs a potem jest zerowy) co zawsze powoduje wzrost szumów i zniekształceń lub zastosować oversampling.

Przełomem w dziedzinie cyfrowego przetwarzania sygnałów DSP jest system z zapisem na płycie CD. Przed konstruktorami systemu postawiono bardzo trudne zadania. Przy częstotliwości granicznej 20 KHz częstotliwość próbkowania 44.1 kHz ( próbkowanie tylko nieznacznie częstsze niż minimalne 2 razy Shannona ) stawia niezwykle surowe wymagania na filtr antyaliasingowy  i rekonstrukcyjny. Ponieważ czysto analogowe wykonanie takiego filtru jest w zasadzie niemożliwe mimo najlepszych projektów i elementów tu najszybciej zastosowano dwukrotnie częstsze próbkowanie i cyfrowy dolnoprzepustowy filtr decymacyjny DSP.

Sony - Philips cudem pomysłowości stworzyły tani 14 bitowy przetwornik D/A. Aby zapobiec spadkowi charakterystyki częstotliwościowej schodek S/H skrócono do 1/4. Pełną rozdzielczość 16 bitów z tym przetwornikiem uzyskano dopiero po zastosowaniu oversamplingu wykonanego w układzie dolnoprzepustowego filtru interpolacyjnego FIR 120 rzędu (!) SAA7220.

Dygresja. Układ SAA7220 zawiera dwa szybkie ALU mnożąco - sumujące oraz pamięci buforowe RAM i pamięć ROM ze współczynnikami bardzo długich filtrów FIR no i układ sterujący algorytmem przetwarzania. Także procesor DSP dźwięku w systemie Digit 2000 ITT ma szybkie ALU mnożąco sumujące. Tymczasem w procesorach jest tylko wolne, wielocyklowe mnożenie bardzo mocno spowalniające procesory. Strasznie to jest dziwne bowiem procesor komputera powinien mieć szybkie mnożąco sumujące ALU i instrukcje do DSP.

Poniżej strona z Electronic Component & Application, Philips Vol 6 No 4, okazująca spadek częstotliwości skutkiem charakterystyki sin x / x pełno-schodkowego S/H, efekt skrócenie schodka sygnału z S/H do 1/4 czasu okresu oraz zastosowanie 2 i 4 krotnego oversamplingu.

Widmo sygnału prostokątnego spada powoli tak jak 1/n czyli 20 db/dekadę.

Współczynniki rozwinięcia w szereg Fouriera sygnału trapezoidalnego o amplitudzie 1 czyli z "prostokątami" o zboczach o czasie narastania „a” w półokresie okresie Pi mają postać

4/Pi [ (sin(na))/na * sin(nwt)/n], n tylko nieparzyste.

Czas narastania zbocza (zwykle oznaczany tr ) sygnału "prostokątnego" wynosi więc w tym przypadku 2a. Gdy a->0 to współczynniki dążą do 1/n czyli takich jak dla sygnału prostokątnego a gdy a=pi/2 współczynniki stają się takie jak dla sygnału trójkątnego.

Także w rozwinięciu Fouriera asymetrycznych prostokątów czy sygnałów PWM o czasach narastania tr pojawia się we współczynnikach rozkładu Fouriera funkcja sin x /x ! To powoduje że harmoniczne sygnału od częstotliwości 1 / (Pi* tr) skutkiem funkcji sin x /x spadają dodatkowo o 20 db/dek !

Jakie to ma znaczenie praktyczne. Ogromne !

Weźmy pod uwagę triakowy ściemniacz zasilający żarówkę ale bez filtru LC tłumiącego zakłócenia, który zawsze jest stosowany. Niech czas narastania załączanego prądu wynosi 3.18 us to znaczy funkcja sin/x zacznie „działać” od częstotliwości 100 KHz. Bez uwzględnienia czasu narastania ( przy symetrii tylko nieparzyste ) harmoniczne prądu spadają jak 1/n.

Zatem dla radiostacji długofalowej o częstotliwości 250 KHz n są w pobliżu 5000 a osłabienie przez sin x/x jest 2.5 raza. Harmoniczne od ściemniacza bardzo silnie zakłócają odbiór i tym silniej im wyższe jest chwilowe napięcie załączenia triaka co słychać w radiu.

Ale radiostacje na fali średniej 1.5 MHz można już odbierać bowiem, circa n=30000 a dodatkowe osłabienie przez sin x/x wynosi 15 razy.

Zatem z punktu widzenia zakłóceń radiowych istotne jest ograniczenie szybkości narastania i opadania sygnałów zakłócających . Przy gładko zaczynających się i kończących zboczach sygnału spadek harmonicznych jest jeszcze szybszy.

Z podręczników znany jest przebieg prądu trójfazowego prostownika diodowego z indukcyjnością z uwzględnieniem komutacji i przybliżony czas narastania prądu w procesie komutacji. Znany jest dokładny rozkład Fouriera. Okazuje się że przybliżenie prądu niby trapezoidem (jego połówka trwa 2/3 półokresu ) i w konsekwencji współczynników rozkładu funkcją sin x / x daje całkiem dobre przybliżenie !

Funkcja sin x /x ma tez inne ciekawe zastosowania ale poza naszym tematem.