Archiwum. Automatyzacja realna czyli nieznana.10 Nieliniowosc

Archiwum.  Automatyzacja realna czyli nieznana.10 Nieliniowosc

 W systemach automatycznej regulacji skutecznym sposobem linearyzacji aktuatora, organu wykonawczego i części obiektu jest regulacja kaskadowa ale tylko wtedy gdy wewnętrzna  pętla regulacji  Slave jest znacznie szybsza niż zewnętrzna pętla Master.

 Aktywne elementy elektroniczne z reguły są mniej lub bardziej nieliniowe. W zakresie częstotliwości znacznie mniejszych od częstotliwości granicznej tranzystora <<Ft skutecznym sposobem zmniejszanie nieliniowości jest ujemne sprzężenie zwrotne. Dwójka szerokopasmowa o wzmocnieniu 24 dB i paśmie 1 GHz wykonana z tranzystorów szerokopasmowych o Ft=6 GHz ma mniejsze intermodulacje niż same tranzystory dopiero przy częstotliwości mniejszej od około 500 MHz.
Znaczniej bardziej liniowa niż pojedynczy tranzystor jest para różnicowa z dwóch tranzystorów a także układ przeciwsobny.

Nowoczesne liniowe, szerokopasmowe tranzystory pozwoliły wykonać systemy telefonii nośnej TN o wielkiej krotności i systemy telewizji kablowej CATV o wielu programach.
Crest Factor CF to iloraz wartości szczytowej do wartości skutecznej sygnału. Im większy jest CF tym trudniejsze jest procesowanie sygnału a w szczególności jego wzmacnianie także we wzmacniaczach mocy. CF sygnałów TN i CATV rośnie z ilością kanałów i są to bardzo trudne sygnały. W efekcie nigdzie w bloku krajów RWPG nie ma pojemnych systemów TN i stąd rosnące, bardzo szkodliwe zapóźnienie telekomunikacji.  Nie ma też sieci CATV. Monitoring i zarząd siecią TN jest skomputeryzowany. Złożone przyrządy pomiarowe używane do automatyzacji rozległego pojemnego systemu TN należą generalnie do najdroższych.
Ponieważ coraz pojemniejsze są światłowody być może ominiemy etap TN wielkiej pojemności.
W zastosowaniach krytycznych jak w TN i CATV tranzystory szerokopasmowe pracują zawsze w optymalnym punkcie pracy bardzo blisko maksymalnej osiągalnej Ft.
Do oceny optymalnego poziomu sygnału CATV o właściwej jakości potrzebny jest detektor pół szczytowy. Prosty detektor z diodą Schottky ma potrzebną nieliniową charakterystykę ale jest  niestabilny cieplnie. Parametry diod Schottky  detektorów zmieniają się bowiem z temperaturą. Na rysunku ( z „The Art od Electronics”…) pokazano rozwiązanie problemu. Do lewego diodowego podwajacza napięcia podano mierzony sygnał RF lub mikrofalowy a do drugiego prawego podwajacza sygnał zmienny o dość dowolnej częstotliwości 100 KHz i wielkości ustalanej pętlą sprzężenia zwrotnego tak aby odfiltrowane dolnoprzepustowo wyjścia z obu prostowników się kasowały.
Istnieje kilka wariacji tego układu. Szczególnie prosta i dokładna jest realizacja (autora) z użyciem w generatorze o regulowanym wyjściu AC elementów z rodziny CMOS 4000.          

 Z reguły pożądana jest liniowość sygnałów i wszelkich systemów. Zniekształcony nieliniowo sygnał sinusoidalny ma dodatkowo harmoniczne a sygnał złożony ma niepożądane intermodulacje.
W nowoczesnych nadajnikach telewizyjnych stosuje się celowe odkształcenie kompleksowego sygnału przed trochę nieliniowym wzmacniaczem mocy nadajnika ( na zakresach UHF przy dużej mocy jest to klistron) aby zmniejszyć bardzo szkodliwe zniekształcenia emitowanego sygnału TVC. Są to układy - urządzenia o najwyższym stopniu trudności produkowane tylko przez 3 firmy w świecie. 
W telekomunikacji PCM gdzie przetwarzanie A/D i D/A jest tylko 7 bitowe w USA  i 8 bitowe w Europie stosuje się celem rozszerzenia dynamiki sygnału kompresje odpowiednio   „mu-law" i „A” ale powiększa ona zniekształcenia nieliniowe sygnału. W 8 bitowym europejskim systemie PCM dynamika jest zbliżona do liniowego systemu 13 bitowego ale nieliniowe zniekształcenia średniego  sygnału przekraczają 2% a słabszego są jeszcze większe. W istocie w systemie europejskim sygnał z 13 bitowego przetwornika ADC jest układem logicznym zamieniony - skompresowany na 8 bitów.
Skomplikowane ludzkie oko ma też mechanizm kompresji jako zjawisko akomodacji. W bezksiężycową noc przy świetle gwiazd oświetlenie wynosi 0.0001 lx natomiast bezpośrednie letnie światło Słońca to 32 000 – 100 000 lx. Akomodacja do ciemności trwa kilka minut. Zakres dynamiki w obserwowanym okiem obrazie jest jednak mniejszy od 80 razy.
Ucho ludzkie także ma zdolność akomodacji. Ucho młodej osoby (słuch się starzeje ) zdolne jest zanotować sygnał o poziomie 0 dB ale sygnały o poziomie ponad 120 dB wywołuje już ból a długotrwały poziom dźwięku ponad 80 dB uszkadza słuch. Zatem inspiracja do stosowania kompresji sygnału w telefonii PCM jest wyjaśniona.
Psychofizjologia słuchu z efektem maskowania jest skomplikowana ale teoretycznie pozwala mocno zredukować strumień informacja o złożonym dźwięku bez możliwości rozróżnienia ich przez ucho !
Kompresji (przy odtwarzaniu odwracającej ekspansji ) sygnału według filtrowanej dolnoprzepustowo obwiedni sygnału dokonują analogowe kompandery  Audio ( głównie do polepszenia zapisu magnetofonem ), które wobec rozpowszechnienia się cyfrowego standardu CD ( także na studyjnych komputerach ) są "musztardą po obiedzie"
Kompresja logarytmiczna stosowana jest w miernikach systemów Audio o szerokim zakresie prezentacji ( nawet do 100 dB ) i w  miernikach prądu stałego o ogromnej dynamice. Identycznie jak w telefonii PCM odbywa się to kosztem dokładności.
Wejściowy wzmacniacz logarytmiczny do jonizacyjnych (i innych) sensorów "elektrometrycznych " w nowoczesnym chromatografie gazowym ma  duża dynamikę i znakomite parametry.
Dynamika sygnałów na ekranie "Spectrum Analyser" ma być duża (do 100 dB ) i stosuje się w nim w torze IF kompandujący szerokopasmowy wzmacniacz logarytmiczny.
Wzmacniacz logarytmiczny jest też używany w radarze impulsowym w torze IF. 

Maszyny produkcyjne wykonują tą samą pracę co człowiek zupełnie inaczej. Uświadomienie tego pozwoliło już dawno konstruktorom na projektowanie maszyn. Powstała w 1886 roku maszyna do produkcji papierosów zastępowała pracę kompanii ludzi ale nie naśladowała czynności wykonywanych przez człowieka co zresztą było niemożliwe.
Inspiracja ideą ludzkiej kompresji sygnału przez ucho ( także oko ) jest jednak słuszna.
Inspiracja metodą analizy dźwięku przez ucho może pozwolić na zmniejszenie ilości informacji o dźwięku.

 Same sensory z racji swojej fizyki są trochę nieliniowe, średnio nieliniowe i silnie nieliniowe. Nieliniowość może wprowadzić też układ kondycjonera z którym współpracuje sensor na przykład RTD.
Na etapie projektowania monolitycznego sensora piezorezystancyjnego ciśnienia lub ciężaru musimy brać pod uwagę jego liniowość czyli  biorąc też pod uwagę inne właściwości kompromisowo minimalizować jego nieliniowość.
Choć komercyjne sensory piezorezystancyjne są szeroko stosowane od lat siedemdziesiątych to są coraz lepsze.  Samo zjawisko jest badane od dekad i przed tymi mocno zminiaturyzowanymi sensorami rysuje się kolorowa przyszłość zwłaszcza po zautomatyzowaniu trymingu Zera i jego dryft termicznego oraz skali.  Proces ten jest trudny począwszy od ustalenia jaka ta optymalna korekcja ma być dla danego egzemplarza sensora. W układach precyzyjnych monolitycznych wzmacniaczy  operacyjnych likwidacja niezrównoważenia wejścia polega na  korekcji wartości rezystorów kolektorowych stopnia wejściowego. Dokonywana jest  przebijaniem maleńkich Diod Zenera. W układach cienkowarstwowych stosowana jest  Laserowa korekcja / przycinanie  wartości rezystorów.
Ale możliwe jest inne rozwiązanie niż korekcja rezystorów monolitycznych i cieńkowarstwowych. Razem z dowolnym innowacyjnym sensorem może być na przykład zastosowana maleńka pamięć Eprom z interface szeregowym z zapisanymi przez producenta danymi do programowej korekcji Zera, dryftu, czułości  i nieliniowości.
Do pomyślenia jest też dostarczenie przez producenta do partii sensorów na ( de facto ponumerowanej kolejno) typowej taśmie  pliku z informacjami o sensorach , które mogą być przepisane do pamięci urządzeń z kolejno automatycznie montowanymi  sensorami. 
-Charles S, (1954) Piezoresistance effect in germanium and silicon. Phys. Rev. 94(1) pp 42–49
-Tufte O, Stelzer E, (1963) Piezoresistive properties of silicon diffused layers. J. Appl. Phys. 34(2) pp313–318
-Yamada K, Nishihara M, Shimada S, Tanabe M, Shimazoe M, Matsuoka Y, (1982) Nonlinearity of the piezoresistance effect of P-type silcon diffused layers. IEEE Trans Electron Devices 29(1) pp71–77
 
Linearyzacje sensorów przeprowadza się układowo i programowo.

Strumień cieczy lub gazu możemy mierzyć jako pierwiastek z różnicy ciśnień za i przed przewężką. Stosowany jest tylko jeden różnicowy sensor ciśnienia. 
Znane są bardzo proste, pomysłowe układy obliczające pierwiastek i kwadrat napięć/prądów z jednym wzmacniaczem operacyjnym . W układach tych ( za National Semiconductor ) można użyć tranzystorów z układu UL1111 ( =licencyjny CA3046 koncernu RCA  ) ale przydział tranzystorów musi być ( w prezentowanych układach jest ) odpowiedni biorąc pod uwagę interakcje przez podłoże. Musi mieć ono najniższy potencjał.

Dla linearyzacji funkcje kwadratową trzeba obliczać w układzie termicznego anemometru z wolframowym włóknem żarówki jako sensorem.  Temperatura pracy włókna żarówki przy napięciu nominalnym jest większa dla żarówek większej mocy i na mniejsze napięcia. Po prostu grubszy drut żarnika jest bardziej wytrzymały  mechanicznie i toleruje wyższą temperaturę pracy. Zimna żarówka ma ponad 10 razy niższą  oporność niż nominalnie.
Szklaną banieczkę żarówki można usunąć i zastosować żarówkę bez bańki do anemometru termicznego. Schemat powyżej pochodzi od firmy Linear Technology. Wzmacniacz operacyjny A1 ( jako regulator całkujący z kondensatorem 0.1 uF ) wraz z tranzystorowym wtórnikiem mocy Q1 zasila  mostek z żarówką i opornikami. Układ jest stabilny tylko przy dodatnim napięciu zasilającym mostek i stąd użycie diody 1N4148 na wyjściu wzmacniacza oraz opornika startowego 2k  równolegle do E-C tranzystora.  Bez tych elementów chimeryczny start zależy od znaku napięcia niezrównoważenia wzmacniacza operacyjnego.
Amerykańska żarówka typu 328 na napięcie 6V ma moc nominalną 1W i świecąca oporność nominalną 36 Ohm oraz oporność na zimno ca 3.5 Ohm.
Na mostek zostanie regulatorem podane takie napięcie żeby był on zawsze zrównoważony co ma miejsce gdy oporność żarówki wyniesie 27*100k/500k =5.4 Ohma . Czyli włókno żarówki ma temperaturę ca 200C. Wybór optymalnej temperatury pracy nie jest prosty. Im niższa jest temperatura włókna tym większy jest wpływ temperatury otoczenia.
Oczywiście im mniejszej mocy żarówka tym delikatniejsze włókno o czym trzeba pamiętać. Im większa jest szybkość chłodzącego strumienia powietrza w którym umieszczono włókno tym większe musi być podane napięcie do mostka aby był zrównoważony bowiem włókno jest intensywniej chłodzone.
Wartość opornika zasilającego żarówkę 27 Ohm przy napięciu zasilania układu 15V jest nieprzypadkowa. Zapobiega też uszkodzeniu żarówki.  Dalej na schemacie jest właśnie linearyzujący charakterystykę układ kwadratora. Połączeniu rezystorów 2K i 150 K brakuje kropki do połączenia ich z E Q1.  
NB. W niektórych zastosowaniach kwadrator nie jest on konieczny a charakterystyka pierwiastkowa może być wręcz pożądana. Układ CA3046 z tranzystorami użytymi w kwadratorze to krajowy układ UL1111.
Potencjometr 2M służy do skalowania przy pełnej szybkości strumienia powietrza 1000 stop / minute.

Popularny jest pogląd że Sztuczna Inteligencja niewiele różni się od Optymalizacji. Zdaniem autora są dwie osobne gałęzie Artificial Inteligence - AI.
W pierwszej  chodzi o przetwarzanie tekstu ( są ich już setki gigabajtów ) i wnioskowanie regułami, także wypracowanymi z tekstu i skomplikowanymi. Druga gałąź to de facto optymalizacja.
W poetyce optymalizacji zastanówmy się o co chodzi z programową linearyzacją  na mikrokontrolerze i które algorytmy są najlepsze.
Klienci racjonalnie oceniają stosunek ceny do jakości towaru. Tutaj jakością jest dokładność programowej linearyzacji. Natomiast ceną jest suma wielkości użytej na program i tabele  pamięci ROM oraz zajętości czasu mikrokontrolera !  Zatem przy znajomości danych można udzielić odpowiedzi który algorytm do konkretnego celu z konkretnym mikrokontrolerem jest lepszy.
Generalnie jednak sensowne sformułowanie każdego problemu do optymalizacji bywa  bardzo trudne.
Blisko optymalizacji jest aproxymacja która również bywa zdumiewająco trudna jak w przypadku cyfrowego  filtru FIR o skończonej odpowiedzi impulsowej który ma setkę (a nawet więcej )współczynników !
Stosujemy:
-Aproksymacje metodą najmniejszych kwadratów dla całego zakresu lub tylko jego nieliniowej części lub Aproxymacje równomiernie falistą  Czebyszewa dla całego zakresu  mierzonej wielkości lub tylko nieliniowej części. Gdy aproksymujemy cały  zakres to wadą jest wysoki rząd uzyskanego wielomianu dla dobrej korekcji błędu nieliniowości.
-Stosujemy różne aproxymacje dla podprzedziałów. W podprzedziałach stosujemy przybliżanie liniowe lub kwadratowe lub lepiej wielomiany 3 rzędu mające tą samą gładką pochodną na granicach czyli Spliny.  
 
1. Sensor temperatury RTD PT100 ma niewielką nieliniowość ale jest dokładny ( konkurując w laboratoriach z termometrem kwarcowym ) i normy międzynarodowe podają wielomiany interpolacyjne do 7 rzędu do przeliczenia oporności na temperaturę i odwrotnie z uwzględnieniem nieliniowości. Malejące współczynniki kończą się na rzędzie 10e-25 i dla nieoptymalnej strategi obliczeń w programie potrzebna jest powolna arytmetyka zmiennoprzecinkowa w dokładności double !
Stosując tylko specyficzną poprawkę kwadratowa uzyskuje się bardzo mały czebyszewowski błąd nieliniowości ( redukcja nieliniowości do 40 razy ) w przedziale temperatury 0-200/250 C.

Zasilanie liniowego sensora oporowego powinno być ze źródła prądowego bowiem zasilanie przez rezystor ( także w układzie mostkowym ) wprowadza dodatkowy głównie kwadratowy błąd nieliniowości. Źródło prądowe jednak wprowadza swoje dodatkowe błędy i dryfy. Stosując w układzie wzmacniacza kondycjonera do RTD (PT100) dodatnie sprzężenie zwrotne z wyjścia OPA do sensora ( podobnie jak w układzie Źródła prądowego Howlanda na OPA ) symulujące ujemną oporność dokładnie taką jak oporność rezystora zasilającego, eliminujemy tą nieliniowość symulując źródło prądowe.
Zmniejszając ten rezystor dodatniego sprzężenia dalej eliminujemy kwadratową nieliniowość PT 100 uzyskując znakomity rezultat.
Czułość RTD jest proporcjonalna do prądu pomiarowego który odrobinę sensor podgrzewa. Wprowadzony podgrzaniem błąd mierzonej temperatury winien mieć około 10% udział w całym  budżecie błędów. Konduktancja termiczna sensorów PT100 jest w przedziale 2-100 mW/C a więc optymalny prąd pomiaru jest dla konkretnego sensora o konkretnej klasie dokładności !
Na wykresie pokazano błąd głównie kwadratowy PT100 który przy T=500C wynosi ca 14 C oraz linią przerywaną błąd po układowej  linearyzacji powiększony x100. Błędy na końcach przedziału wynoszą -0.17 C a w "środku" przedziału  +0.17 C przy  T około 330 C. Oczywiście przy węższym zakresie pomiaru ( dolny zakres niech będzie dalej wygodne 0 C) aproksymacja jest dużo, dużo lepsza. Niech optymalna wartość opornika linearyzacji dla temperatury górnej 100 C wynosi 1. Dla górnej temperatury T=200C wynosi 0.97,  300C - 0.94,  500C - 0.88. Zmiana nie jest więc duża.  
Przy skalowaniu fizycznym wielkość linearyzującego dodatniego sprzężenia można regulować jak pokazano poniżej na schemacie. 
Tą genialną metodę układowej linearyzacji zastosowano w czteroprzewodowym układzie pomiarowym z sensorem PT100 firmy  Linear Technology (1986). Słabiutkie dodatnie sprzężenie zwrotne podano z wyjścia wzmacniacza przez regulowany dzielnik R4+10 K rezystorem R1 na sensor PT100. Jak podaje firma ta linearyzacja w przedziale -50 ... 150C zmniejsza błąd poniżej 0.004 C.
Regulacje kalibracyjne potencjometrami R2, R3, R4 są mało zależne. Zasadę układowego konstruowania  mało zależnych regulacji na przykładach omówiono w innym dokumencie, podobnie jak interfejsy do PT100 i innych sensorów. Omawianie tu układu jest więc zbędne. Niewłaściwie zastosowane regulacje zależne mogą być bardzo pracochłonne lub wręcz bliskie niewykonalności.

2.Tranzystor połączony w diodę (B+C) jest liniowym sensorem temperatury tylko przy zasilaniu go przez rezystor z napięcia BandGap które teoretycznie dla krzemu w temperaturze 0 K wynosi 1,205 V ale w praktyce jest w przedziale 1.22-1.24 V. Uzyskanie takich warunków jest łatwe a zasilane Q ze specjalnie stworzonego źródła prądowego jest błędne i nierozsądne. Odpowiednią oporność i pozorne napięcie BG (de facto dynamiczną ) widzianą przez sensor może też wytwarzać wzmacniacz operacyjny w konfiguracji odwracającej, która może być konieczna w konkretnym zastosowaniu. 
Jednak nawet w takich warunkach tranzystor nie jest tak dokładnym sensorem jak dokładnie linearyzowane PT100 ale jest bardzo użyteczny i tani. Im większy jest prąd zasilania Q jako sensora temperatury  tym  ma on mniejszą czułość a skutkiem rezystancji rozproszenia bazy Rbb jest bardziej nieliniowy. Praktyczną wartość prądu pracy wyznacza odporność na zbierane łączącym sensor przewodem zakłócenia elektromagnetyczne.
Wykres dotyczy popularnego tranzystora 2N4401 w obudowie plastikowej z chipem takim jak masowy 2N2222 w obudowie metalowej.

- R.J. Widlar, “Designing Positive Voltage Regulators,” EEE, Vol. 17, No. 6, pp. 90–97, June 1969.
- J.S. Brugler, “Silicon Transistor Biasing for Linear Collector Current Temperature Dependence,” IEEE Journal of Solid State Circuits, pp. 57–58, June, 1967.
- R.J. Widlar, “Design of Monolithic Linear Circuits,” Handbook of Semiconductor Electronics, L.P. Hunter, McGraw-Hill Inc., New York, 1970.

3.Na wykresie pokazano błąd nieliniowości najpopularniejszych termopar K, J, E, T. Co ciekawe narodowe instytuty podają trochę  różne takie dane ! Wykres jest trochę mylący bowiem nieliniowa poprawka ma być od argumentu pomiaru a nie zlinearyzowanej dopiero temperatury. Niemniej interesujący nas wykres błędu nieliniowości jest podobny.
Termopara E ma największą czułość ze wszystkich termopar ale zaleta ta przy pojawieniu się dokładnych OPA trochę przybladła. Termopara E jest przy małym temperaturach mocno  nieliniowa.
W takim pokazanym zakresie temperatur poprawka kwadratowa dla J, E, T niestety nie załatwia dobrze sprawy z uwagi na niesymetrie. Dla zakresu 0-550 C liniowo-kwadratowa poprawka  dla zerowego błędu dla termopary K przy 1/3 i 2/3 zakresu dla temperatury 50 C daje błąd -2.3% skali a dla 550 F -0.68 %. Wybór punktów gdzie linearyzacja ma być idealna jest więc bardzo ważny. Aproxymacja w całym przedziale jest jednak lepsza  niż taki prosty sposób zerowania błędu w dwóch punktach. Błąd ma być najmniejszy w spodziewanym zakresie pracy !
 Nieliniowość termopary  K choć nieduża jest nieregularna i tu tabela z liniowymi poprawkami działa bardzo dobrze.

Książka - Sheingold, D. H, Nonlinear circuits handbook, Analog Devices Inc, Norwood, MA, 1976 - poświęcona jest zastosowaniu układów nieliniowych firmy Analog Devices w wielu obszarach. Rozważania na temat aproxymacji funkcji lub błędu są równie użyteczne dla realizacji programowej na mikrokontrolerze.
Na stronach 92-97 omówiono przykładową linearyzacje termopary E.  Na wykresie pokazano nieliniowość termopary E  i efekty zastosowania dwóch rozwiązań linearyzacji zmniejszające nieliniowość poniżej 1C. W pierwszym "gładkim" rozwiązaniu układu linearyzacji zastosowano dla części zakresu poprawkę "sześcienną" wytwarzaną przez układ  hybrydowy "translinear" 433. Układ ten nie jest skomplikowany i podobne układy oferuje też BB.  W drugim rozwiązaniu zastosowano linearyzacje odcinkowo - liniową wykonaną układami stosowanymi w prostownikach idealnych na OPA. Rysunki są samoobjaśniające i komentarz jest w zasadzie zbędny. Zwróćmy jednak uwagę na to że ta droga linearyzacja analogowa powinna już przejść do historii skoro może ją wykonać prosta funkcja programu mikrokontrolera lub komputera oczywiście o ile w systemie jest procesor. Przy niewielkiej nieliniowości zysk na przyroście dokładności przetwarzania A/D jest znikomy a układ linearyzujący jednak wnosi błędy.  

4.Liniowość sensora przesunięcia LVDT spada przy mocnym odchyleniu w dowolną stronę. Poprawkę sześcienną  należy wprowadzać dopiero przy przekroczeniu circa 85% zakresu w każdą  stronę. Dzięki temu nawet po niewielkim przekroczeniu nominalnego zakresu pomiaru jest niezły pomiar ale jednak coraz mniej dokładny.
 
5.Termistor NTC jest bardzo silnie nieliniowy. Termistor scharakteryzowany jest równaniem Steinhart-Hart ( poniżej, dalej jako SH ) z parametrami a,b,c. W zakresie temperatur 200 C błąd aproksymacji nie przekracza 0.02 C.  Parametry a,b,c można wyliczyć z trzech par Temperatur  i Rezystancji NTC. Gdy par pomiarów jest więcej możemy użyć zmodyfikowanej metody najmniejszych kwadratów dla znalezienia najlepszych ocen a,b,c.
Termistor praktyczniej jest charakteryzowany  parametrem B ( faktycznie Beta,  wzór poniżej ) dla dwóch temperatur czyli mamy w zależności od pary temperatur B(25,50), B(25,85) i  B(25,125). Dla tego samego termistora parametry B(25,50), B(25,85) i  B(25,125) trochę się różnią. Wymieniony  dalej precyzyjny  termistor YSI44007 o dokładności 0.2 C i rezystancji 5 KOhm przy temperaturze 25C, ma iloraz rezystancji dla temperatur 25 C i 125 C  29.3 raza czyli współczynnik B(25,125) jakim posługują się inni producenci wynosi około 4000.
NTC zasilany rezystorem o oporności NTC dla temperatury ze "środka" przedziału jest z reguły wystarczająco liniowy do wielu zastosowań. Im dalej od środkowej temperatury tym sygnał jest coraz bardziej "skompresowany" co czasem jest niedocenianą zaletą ! Ale są NTC o dokładności 0.05 C i wtedy nawet dla niezbyt szerokiego  zakresu T trzeba zastosować  linearyzacje programową a dla szerokiego zakresu temperatur bardzo dokładny oraz drogi przetwornik ADC. Aby przy szerokim zakresie mierzonych temperatur złagodzić absurdalnie surowe wymagania na ADC sygnał można z grubsza prosto procesować analogowo i dalej linearyzować programowo.
Do programowej linearyzacji wykorzystujemy podany poniżej kłopotliwy wzór SH. Dokładne wyliczanie logarytmu jest trudne i czasochłonne. Należy także generalnie unikać dzielenia a tu nie da się go uniknąć. Zatem lepiej jest stosować linearyzacje odcinkowo - liniową tym bardziej że uwzględnia ona zachowanie rzeczywistego egzemplarza NTC a nie termistora teoretycznego.

Termistora NTC można użyć do termicznej kompensacji czułości - wzmocnienia sygnału z sensora pH. Wzmocnienie układu dzielnika z NTC i dwoma rezystorami ma być odwrotnie proporcjonalne do T w skali Kelwina. Rozwiązanie nie jest proste ale je uzyskano.

W systemie Centralnego Ogrzewania środkowa temperatura ( odpowiednia dla wartości rezystora zasilającego NTC ! ) do NTC mierzącego temperaturę zewnętrzną powinna wynosić  około 0 C a dla mierzącego temperaturę podgrzanej wodę do kaloryferów około 65 C. Obie optymalne temperatury zależą od strefy klimatycznej. W takim systemie linearyzacja obu NTC jest zbędna.

6.Sensory chemiczne są często nieliniowe a sensor pH jest tu wyjątkiem ale wymaga kompensacji temperaturowej czułości.
Miniaturowe sensory gazu są produkowane przez japońską firmę Figaro od 1969 roku. Są one wielkości tranzystora w metalowej obudowie TO39 ale łepek ma siateczkę na gorze lub cały jest osiateczkowany. Sensory były początkowo wykorzystywane w prostych urządzeniach ostrzegających o zawartości wybuchowych  gazów  w atmosferze. Sensory są oznaczone jako TGSXXX , gdzie TGS to Taguchi Gas Sensor. Taguchi odkrył idee sensorów i je opatentował. Stworzył firmę Figaro. Sensory mają elektryczny grzejniczek a sam sensor jest rezystancyjny.
Na rysunku ( za Linear Technology ) pokazano użycie podobnego sensora metanu innej firmy. Układ kondycjonera ma od razu wyjście częstotliwościowe dogodne dla współpracującego mikrokontrolera bez ADC.  N.B. Sygnał częstotliwościowy można tanio i łatwo izolować transoptorem lub transformtorkiem. Na tranzystorach Q1-4 układu CA3046 (= krajowy licencyjny UL1111 ) i układzie wzmacniacza A2 zrealizowano układ kwadratora.

7.Wilgotność względna RH powietrza jest bardzo ważna w wielu obszarach ludzkiej działalności. Sensory wilgotności względnej RH są rezystancyjne i pojemnościowe. Nie są to sensory dokładne. Występuje w nich m.in histereza. Z powodu zjawiska polaryzacji obu rodzajom sensorów nie wolno podawać napięcia stałego.
Sensory rezystancyjne są bardzo silnie nieliniowe co pokazano na wykresie.   

Pokazany układ  ( Application Note AN-256 National Semiconductor, Circuitry for Inexpensive Relative Humidity Measurement ) liniowo mierzy wilgotność RH w zakresie 0-100% dając sygnał 0-10Vdc.
Na pierwszym OPA z poczwórnego układu  wykonano generator sygnału prostokątnego. Użyte w nim wrażliwe temperaturowo źródło prądowe LM334 z rezystorem 15 Ohm powoduje że wyjściowy sygnał prostokątny +-8V (przy T=25C ) ma dodatni współczynnik temperaturowy 0.3%/C kompensując ujemny współczynnik temperaturowy sensora. Napięcie to podane do sensora ma bardzo małą składową stałą. Płynący przez sensor prąd podano do specyficznego wzmacniacza logarytmicznego. Użyto w nim  Q1 jednego z trzech wolnych tranzystorów z układu wzmacniacza Audio LM389. Sam wzmacniacz Audio nie jest użyty.  Kolejny tranzystor Q3 jest sensorem temperatury a Q2 grzejnikiem. Stabilizacje temperatury Q1 zastosowano po to aby nie trzeba było stosować kompensacji zmian temperatury. Układ "Breakpoint Amp"  z tranzystorem 2N2222 zmienia wzmocnienie wyjściowego wzmacniacza aby jak najlepiej  linearyzować charakterystykę.
W AN szczegółowo opisano działanie układu i podano oscylogramy ale działanie jest oczywiste już po chwili analizy układu. Układ jest jednak skomplikowany i w systemach z mikrokontrolerem należy po prostu "wyprostowany" sygnał z rezystancyjnego sensora RH dowolnie skompresować aby możliwe było użycie 8-10 bitowego ADC i dokładnie linearyzować programowo.   

Prąd fotodiody jest proporcjonalny ( pomijając prąd upływu ) do jej oświetlenia. Natomiast fototranzystor jest nieliniowy tak jak nieliniowe jest jego wzmocnienie ( zależne też od Uce i temperatury ) prądowe co eliminuje fototranzystor z większości liniowych zastosowań pomiarowych. Fototranzystor bez ujemnego równoległego sprzężenia zwrotnego podanego na jego bazę jest też powolny. 
Fotodioda może pracować w trzech konfiguracjach.
-Spolaryzowana napięciem zaporowym. Im większe jest to napięcie tym większy prąd upływu a w fotodiodzie lawinowej blisko napięcia przebicia szybko wzrasta jej wzmocnienie do wartości nawet powyżej 1000 ale optymalne ( dla sumy szumów fotodiody lawinowej i wzmacniacza ) wzmocnienie bywa około 70 razy.  Z napięciem spada  też szkodliwa nieliniowa  pojemność fotodiody. Zatem jest to konfiguracja dla szybkich sygnałów zmiennych gdzie prąd upływu jest mało istotny.
-Z zerowym napięciem na wejściu odwracającego wzmacniacza operacyjnego JFet o małym upływie tak zresztą jak z sensorami „elektrometrycznymi”. Im mniejsze jest napięcie niezrównoważenia OPA podano do fotodiody  tym mniejszy jest jej prąd upływu fotodiody. Jest to konfiguracja do powolnych i bardzo słabych, słabych sygnałów ale też silnych sygnałów. Popularny układ OPA CA3140 ma przy zasilaniu 5V wejściowy prąd polaryzacji tylko 1-2 pA !
Wejściowy OPA może być od razu elementem prostego przetwornika I/F tanio i wygodnie obsługiwanego licznikiem mikrokontrolera.
W pokazanym układzie amperomierza (podobną idee stosuje się we wzmacniaczach do sensorów elektrometrycznych na przykład w chromatografach ) ze wzmacniaczem logarytmicznym, przełącznikiem może być sterowany przez mikrokontroller  multiplexer CMOS CD4051 lub inne. Z popularnym OPA CA3140 możliwy jest pomiar prądu w zakresie prawie do 10 dekad ! W temperaturze 25 C  napięcie na każdym rezystorze 549 Ohm  powinno wynosić 25.85 x ln (10) = 59.5 mV i takie jest. Ma być ono proporcjonalne do Temperatury w skali Kelwina i takie jest co już wyjaśniono i dlatego dla prostoty użyto źródło napięcia BG.   

-Napięcie na otwartej fotodiodzie zależy logarytmicznie ( z wpływem temperatury tak samo jak dla Ube tranzystora we wzmacniaczu logarytmicznym ) od oświetlenia ale dopiero po pokonaniu prądu upływu fotodiody. Pojemność fotodiody jest znaczna i konfiguracja nie ma zalet poza prostotą. Czasem jest wygodna i stosowana jak w omówionych dalej sensorach - światłomierzu i optoelektronicznym pirometrze wzorowanych na rozwiązaniu NSC opisanym w AN-211.

Literatura.
1.Wydajne aproksymowanie i obliczanie różnych funkcji a  w tym standardowych funkcji bibliotecznych.